-->

Ringkasan Materi Trigonometri Sudut Relasi Matematika SMA

Ringkasan Materi Trigonometri Sudut Relasi Matematika SMA. ada pertanyaan sebagai berikut : "Rumus Trigonometri sudut r3elasi dengan kuadran ". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Ekonomi SMA tentang Trigonometri, sin, cos, tan, sec, cosec, cotan, relasi sudut kuadran I, kuadran II, Kuadran III, kuadran IV di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.
Trigonometri Sudut Relasi ( Matematika SMA )
Trigonometri Sudut Relasi ( Matematika SMA )


Trigonometri Sudut Relasi

A. PENDAHULUAN

Perbandingan trigonometri sudut berelasi merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang hanya memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°).

Dengan menggunakan sudut-sudut relasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut-sudut negatif.

B. Sudut Relasi Kuadran I

Untuk setiap α lancip, maka (90° − α) akan menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α) = cos α
cos (90° − α) = sin α
tan (90° − α) = cot α


C. Sudut Relasi Kuadran II

Untuk setiap α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) akan menghasilkan sudut-sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = -sin α
tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α
cos (180° − α) = -cos α
tan (180° − α) = -tan α


D. Sudut Relasi Kuadran III

Untuk setiap α lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) akan menghasilkan sudut kuadran III. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α
cos (180° + α) = -cos α
tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α
cos (270° − α) = -sin α
tan (270° − α) = cot α


E. Sudut Relasi Kuadran IV

Untuk setiap α lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) akan menghasilkan sudut kuadran IV. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α
cos (270° + α) = sin α
tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α
cos (360° − α) = cos α
tan (360° − α) = -tan α


Jika kita perhatikan, rumus-rumus diatas memiliki pola yang hampir sama, oleh karenanya sangatlah tidak bijak jika kita harus menghapalnya satu per satu. Ada 2 hal yang perlu diperhatikan, yaitu sudut relasi yang digunakan dan tanda untuk tiap-tiap kuadran.

Untuk relasi  (90° ± α) atau (270° ± α), maka :
sin → cos
cos → sin
tan → cot

Untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka :
sin = sin
cos = cos
tan = tan

Tanda untuk masing-masing kuadran :
Kuadran I (0 − 90°) : semua positif
Kuadran II (90° − 180°) : sinus positif
Kuadran III (180° − 270°) : tangen positif.
Kuadran IV (270° − 360°) : cosinus positif


Contoh 1
Untuk setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
sin 20° = cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
tan 40° = cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53° = sin 37°

Jika kita perhatikan sin berubah menjadi cos, tan berubah menjadi cot dan cos berubah menjadi sin dikarenakan relasi yang digunakan adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri diatas bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh 2
Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° −  α)

Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°


Contoh 3
Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari \(\mathrm{\frac{sin\,100^{\circ}-cos\,190^{\circ}}{cos\,350^{\circ}-sin\,260^{\circ}}}\)

Jawab :
sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos 10°

Sehingga :
\(\mathrm{\frac{sin\,100^{\circ}-cos\,190^{\circ}}{cos\,350^{\circ}-sin\,260^{\circ}}=\frac{cos\,10^{\circ}-(-cos\,10^{\circ})}{cos\,10^{\circ}-(-cos\,10^{\circ})} =\frac{2\,cos\,10^{\circ}}{2\,cos\,10^{\circ}}=1 }\)


Contoh 4
Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{\frac{tan\,(x+110^{\circ})}{2\,cot\,(x+20^{\circ})}}\)

Jawab :
tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)

akibatnya
\(\mathrm{\frac{tan\,(x+110^{\circ})}{2\,cot\,(x+20^{\circ})}=\frac{-cot\,(x+20^{\circ})}{2\,cot\,(x+20^{\circ})}=-\frac{1}{2}}\)


Contoh 5
Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !

Jawab :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18


Contoh 6
Tentukan nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut !

a.  cos 135°
Jawab :
Sudut 135° terletak di kuadran II, sehingga cosinus bernilai negatif.
cos 135° = cos (180 − 45°)
cos 135° = -cos 45°
cos 135° = -\(\frac{1}{2}\)√2

b.  tan 120°
Jawab :
Sudut 120° terletak di kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan 120° = tan (180 − 60°)
tan 120° = -tan 60°
tan 120° = -√3

c.  sin 210°
Jawab :
Sudut 210° terletak di kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 210° = sin (180° + 30°)
sin 210° = -sin 30°
sin 210° = -\(\frac{1}{2}\)

d.  tan 225°
Jawab :
Sudut 225° terletak di kuadran III, sehingga tangen bernilai positif.
tan 225° = tan (180° + 45°)
tan 225° = tan 45°
tan 225° = 1

e.  cos 315°
Jawab :
Sudut 315° terletak di kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 315° = cos (360° − 45°)
cos 315° = cos 45°
cos 315° = \(\frac{1}{2}\)√2

f.  sin 300°
Jawab :
Sudut 300° terletak di kuadran IV, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 300° = sin (360° − 60°)
sin 300° = -sin 60°
sin 300° = -\(\frac{1}{2}\)√3

g.  sin 150° dan csc 150°
Jawab :
Sudut 150° terletak di kuadaran II, sehingga sinus bernilai positif.
sin 150° = sin (180 − 30°)
sin 150° = sin 30°
sin 150° = \(\frac{1}{2}\)

csc 150° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,150^{\circ}}}\)
csc 150° = \(\frac{1}{\frac{1}{2}}\)
csc 150° = 2

h.  cos 240° dan sec 240°
Jawab :
Sudut 240° terletak di kuadran III, sehingga cosinus bernilai negatif.
cos 240° = cos (180° + 60°)
cos 240° -cos 60°
cos 240° = -\(\frac{1}{2}\)

sec 240° = \(\mathrm{\frac{1}{cos\,240^{\circ}}}\)
sec 240° = \(\frac{1}{-\frac{1}{2}}\)
sec 240° = -2

i.  tan 330° dan cot 330°
Jawab :
Sudut 330° terletak di kuadran IV, sehingga tangen bernilai negatif.
tan 330° = tan (360° − 30°)
tan 330° = -tan 30°
tan 330° = -\(\frac{1}{3}\)√3

cot 330° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,330^{\circ}}}\)
cot 330° = \(\mathrm{\frac{1}{-\frac{1}{3}\sqrt{3}}}\)
cot 330° = -√3


F. Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif

sin (-α) = -sin α
cos (-α) = cos α
tan (-α) = -tan α



Contoh 7
Tentukan nilai dari :
sin (-30°)
cos (-135°)
tan (-330°)

Jawab :
sin (-30°) = -sin 30°
sin (-30°) = -\(\frac{1}{2}\)

cos (-135°) = cos 135°  (K.II cos negatif)
cos (-135°) = cos (180° − 45°)
cos (-120°) = -cos 45°
cos (-120°) = -\(\frac{1}{2}\)√2

tan (-330°) = -tan 330°  (K.IV tan negatif)
tan (-330°) = -{tan (360° − 30°)}
tan (-300°) = -{-tan 30°}
tan (-300°) = tan 30°
tan (-300°) = \(\frac{1}{3}\)√3


G. Perbandingan Trigonometri Sudut > 360°

Untuk n bilangan bulat maka :
sin (α + n.360°) = sin α
cos (α + n.360°) = cos α
tan (α + n.360°) = tan α



Contoh 8
Tentukan nilai dari sin 780°
Jawab :
sin 780° = sin (60° + 2. 360°)
sin 780° = sin 60°
sin 780° = \(\frac{1}{2}\)√3


Contoh 9
Tentukan nilai dari tan 690°
Jawab :
tan 690° = tan (330° + 1. 360°)
tan 690° = tan 330°  (K.IV tan negatif)
tan 690° = tan (360° − 30°)
tan 690° = -tan 30°
tan 690° = -\(\frac{1}{3}\)√3

atau

tan 690° = tan (-30° + 2. 360°)
sin 405° = tan (-30°)
sin 405° = -tan 30°
sin 405° = -\(\frac{1}{3}\)√3


Contoh 10
Tentukan nilai dari cos 1200°
Jawab :
cos 1200° = cos (120° + 3. 360°)
cos 1200° = cos 120° (K.II cos negatif)
cos 1200° = cos (180° − 60°)
cos 1200° = -cos 60°
cos 1200° = -\(\frac{1}{2}\)


Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA
Demikianlah Materi tentang Trigonometri Sudut Relasi ( Matematika SMA ). semoga bermanfaat
LihatTutupKomentar