-->

Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut, Materi Matematika SMA

Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut( Matematika SMA ). ada pertanyaan sebagai berikut : "Bagaimana bentuk rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut? ". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Rumus aturan identitas sinus cosinus, Contoh dan pembahasan soal Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Latihan soal Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut.di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut ( Matematika SMA )
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut ( Matematika SMA )

Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

A. Pendahuluan

Pada materi ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut kemudian menggunakan rumus tersebut dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.

Penguasaan materi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat membantu dalam mempelajari materi ini.

Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :
sin (90° - θ) = cos θ
cos (90° - θ) = sin θ
sin (180° - θ) = cos θ
cos (180° - θ) = -sin θ
sin (-θ) = -sin θ
cos (-θ) = cos θ

B. sin (α + β) dan sin (α - β)

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.
∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α
Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut ( Matematika SMA )
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut ( Matematika SMA )



Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR     .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α = \(\mathrm{\frac{QT}{OQ}}\)
QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β     ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh
cos α = \(\mathrm{\frac{PR}{PQ}}\)
PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β     ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan
sin (α + β) = QT + PR
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β



Contoh 1
Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Pembahasan :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)

C. cos (α + β) dan cos (α - β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) dapat kita tentukan dengan cara yang hampir sama seperti rumus sinus diatas. Namun, karena rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih mudah jika kita gunakan konsep sudut relasi kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β 
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh 2

Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Pembahasan :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 - ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 - ¼√6
cos 105° = ¼(√2 - √6)

D. tan (α + β) dan tan (α - β)

Berdasarkan identitas rasio, tan θ = \(\mathrm{\frac{sin\,\theta }{cos\,\theta }}\), akibatnya

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,(\alpha +\beta )}{cos\,(\alpha +\beta )}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha \,cos\,\beta \,+\,cos\,\alpha \,sin\,\beta }{cos\,\alpha \,cos\,\beta \,-\,sin\,\alpha \,sin\,\beta }\times { \frac{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta} }{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta }}}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

Jika β diganti dengan -β, maka
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,(-\beta) }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,(-\beta) }}\)
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi tangen sebagai berikut
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\) 
tan (α - β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)


Contoh 3
Tentukan nilai eksak dari tan 15°
Pembahasan:
tan 15° = tan (45° - 30°)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{tan\,45^{\circ}\,-\,tan\,30^{\circ}}{1\,+\,tan\,45^{\circ}\,tan\,30^{\circ}}}\)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{1\,-\,\frac{\sqrt{3}}{3}}{1\,+\,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\color{Red} \;\;\times \frac{3}{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,+\,\sqrt{3}}\;\; {\color{Red}\times \frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,-\,\sqrt{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{12\,-\,6\sqrt{3}}{6}\)
tan 15° = 2 - √3

E. Rangkuman

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β 

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β 
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β 

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\) 
tan (α - β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

F. Latihan Soal

Berikut beberapa contoh soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

Soal Latihan 1
Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α adalah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α - β) !

Pembahasan :
α lancip berarti α berada di kuadran I.
β tumpul berarti β berada di kuadran II.
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut  gambar 2
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut 



cos α = 3/5  →  sin α = 4/5
sin α bernilai positif karena α berada di kuadran I.

sin β = 5/13  →  cos β = -12/13
cos β bernilai negatif karena β berada di kuadran II.

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α - β) = 4/5 . (-12/13) - 3/5 . 5/13
sin (α - β) = -48/65 - 15/65
sin (α - β) = -63/65


Soal Latihan 2
Diketahui A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika tan A = 1/3 dan tan B = 1/2, tentukan nilai dari cos C !

Pembahasan :
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut gambar 3
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut 


tan A = 1/3  →  sin A = 1/√10  dan cos A = 3/√10
tan B = 1/2  →  sin B = 1/√5  dan cos B = 2/√5

A + B + C = 180°
C = 180° - (A + B)

cos C = cos (180° - (A + B))
cos C = -cos (A + B)
cos C = -(cos A cos B - sin A sin B)
cos C = -(3/√10 . 2/√5 - 1/√10 . 1/√5)
cos C = -(6/√50 - 1/√50)
cos C = -5/√50
cos C = -\(\frac{1}{2}\)√2


Soal Latihan 3
Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !

Pembahasan :
Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°

cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q - sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q - 1 . sin Q = 2/3
0 - sin Q = 2/3
sin Q = -2/3

P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° - Q

cos R = cos (90° - Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3

Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3


Soal Latihan 4
Diketahui A - B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !

Pembahasan:
Karena A - B = 30°, maka
sin (A - B) = sin 30° = 1/2

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
1/2 = 7/10 - cos A sin B
cos A sin B = 7/10 - 1/2 = 1/5

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B) = 7/10 + 1/5
sin (A + B) = 9/10

Jadi, sin (A + B) = 9/10


Soal Latihan 5
Diketahui α, β dan γ adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika cos γ = -4/√65 dan tan α + tan β = 7/6, tentukan tan α tan β !

Pembahasan :
γ = 180° - (α + β)
cos γ = cos(180° - (α + β)) = -cos (α + β)
Jadi, cos (α + β) = -cos γ = -(-4/√65) = 4/√65

cos (α + β) = 4/√65  →  sin (α + β) = 7/√65

tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)
tan (α + β) = (7/√65) / (4/√65)
tan (α + β) = 7/4

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
(1 - tan α tan β) . tan (α + β) = tan α + tan β
(1 - tan α tan β) . 7/4 = 7/6
(1 - tan α tan β) = 2/3
tan α tan β = 1 - 2/3 = 1/3

Jadi, tan α tan β = 1/3


Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA
Demikianlah Materi tentang Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut ( Matematika SMA ), semoga bermanfaat
LihatTutupKomentar