Widget HTML Atas

Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku, Materi Matematika SMA

Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku ( Matematika SMA ). ada pertanyaan sebagai berikut : "Rumus Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Besar perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, rumus pythagoras trigonometri Perbandingan sin,cos.tan pada segitiga siku-siku .di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.
Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku ( Matematika SMA )
Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku ( Matematika SMA )


Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga siku-siku

A. Rangkuman Rumus

Jika berbicara tentang dasar trigonometri, mutlak kita akan berhadapan dengan segitiga siku-siku, karena trigonometri itu sendiri didefinisikan berdasarkan konsep kesebangunan pada segitiga siku-siku.

Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ
Perbandingan Trigonometri segitiga siku siku
Perbandingan Trigonometri segitiga siku siku


Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
$$\mathrm{sin(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\;\color{Red} mi}ring\;\;}\;\;\;\;csc(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\;\;\color{Red} de}pan\;\;}}$$ $$\mathrm{cos(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} mi}ring}\;\;\;\;sec(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\color{Red} sa}mping}}$$ $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\color{Red} sa}mping}\;\;\;\;cot(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} de}pan}}$$
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen


Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.

Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :

Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis $$\mathrm{csc(\theta )=\frac{1}{sin(\theta )}}$$ Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis $$\mathrm{sec(\theta )=\frac{1}{cos(\theta )}}$$ Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{1}{tan(\theta )}}$$
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{sin(\theta )}{cos(\theta )})}$$ sehingga $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{cos(\theta )}{sin(\theta )}}$$

B. Contoh Latihan Soal

Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
contoh 1 Perbandingan trigonometri
contoh 1 Perbandingan trigonometri


Pembahasan :
Perhatikan segitiga ABC
AC = \(\sqrt{\left (\sqrt{3} \right )^{2}+1^{2}}\) = 2

Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
cos(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{1}}\) = \(\sqrt{3}\)
csc(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
sec(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{smping}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{1}}\) = 2
cot(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

Perhatikan segitiga PQR
QR = \(\sqrt{\left (\sqrt{2} \right )^{2}-1^{2}}\) = 1

Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
tan(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
csc(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
sec(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
cot(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1

Contoh 2
Jika tan(α) = \(\sqrt{3}\) dan α sudut lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sin^{2}(\alpha )+cos^{2}(\alpha)}\)

Pembahasan:
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)

Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan = \(\sqrt{3}\)
samping = 1

Dengan teorema phytagoras
miring = \(\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}\) = 2
Perbandingan Trigonometri contoh 2
Perbandingan Trigonometri contoh 2


Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) =  \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos(α) = \(\frac{1}{2}\)

sin2(α) + cos2(α) = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))2 + (\(\frac{1}{2}\))2
sin2(α) + cos2(α) = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)
sin2(α) + cos2(α) = 1

Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1


Contoh 3
Jika sin(β) = \(\frac{1}{2}\) dan sudut β lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sec^{2}(\beta) -tan^{2}(\beta) }\)

Pembahasan :
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\frac{1}{2}\)

depan = 1
miring = 2
samping = \(\sqrt{2^{2}-1^{2}}\) = \(\sqrt{3}\)
Perbandingan Trigonometri contoh 3
Perbandingan Trigonometri contoh 3


Sesuai definisi
sec(β) = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
tan(β) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

sec2(β) − tan2(β) = (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\))2 − (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\))2
sec2(α) − tan2(α) = \(\frac{4}{3}\) − \(\frac{1}{3}\)
sec2(α) − tan2(α) = 1

Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1

Contoh 4
Jika cos(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{csc^{2}(\gamma ) -cot^{2}(\gamma ) }\)

Pembahasan:
cos(γ) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
samping = \(\sqrt{2}\)
miring = 2
depan = \(\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\) = \(\sqrt{2}\)
Perbandingan trigonometri contoh 4
Perbandingan trigonometri contoh 4


Sesuai definisi
csc(γ) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
cot(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = 1

csc2(γ) − cot2(γ) = (\(\frac{2}{\sqrt{2}}\))2  − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1

Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1


Contoh 5
Diberikan segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\) dengan \(\mathrm{\angle A=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle C=\beta }\). Tunjukkan bahwa \(\mathrm{sin(\alpha )=cos(90^{\circ}-\alpha) }\) dan \(\mathrm{cos(\beta )=sin(90^{\circ}-\beta) }\)

Pembahasan : :
Perbandingan Trigonometri contoh 5
Perbandingan Trigonometri contoh 5


Sesuai definisi, maka
sin(α) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)

Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β)  ......................................(1)

∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β  .............................(2)
β = 90° − α  .............................(3)

Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)

Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)

Contoh 6
Diketahui segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\). Titik D terletak pada BC sehingga \(\mathrm{CD=1}\). Jika \(\mathrm{\angle ADB=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle ACB=\beta }\), tunjukkan bahwa \(\mathrm{AB=\frac{tan(\alpha )\;tan(\beta )}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)

Pembahasan ::
Perbandingan trigonometri contoh 6
Perbandingan trigonometri contoh 6


Perhatikan segitiga ABD
tan(α) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD}}\)
⇔ AB = BD tan(α)  ................................(1)

Perhatikan segitiga ABC
tan(β) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD+1}}\)
⇔ AB = (BD + 1) tan(β)  .......................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)  ..................................(3)

Substitusi (3) ke (1)
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\) tan(α)

diperoleh
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\alpha )tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)


Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA