Widget HTML Atas

Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral, Materi Matematika SMA

Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral ( Matematika SMA ). ada pertanyaan sebagai berikut : "Bagaimana bentuk rumus Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral  ? ". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Rumus Menentukan Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral.  Contoh dan pembahasan soal Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral   Latihan soal Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral  .di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.

Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral
Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral   ( Matematika SMA )

Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral 

A. Menentukan Volume Benda Putar Sumbu-x dengan Integral

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis \(\mathrm{x = a}\) dan \(\mathrm{x = b}\) diputar 360o mengelilingi sumbu-x adalah :
$$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\:dx\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left [ f(x) \right ]^{2}\:dx}$$
Menghitung Volume Benda Putar gambar 1
Menghitung Volume Benda Putar gambar 1

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y
1 = f(x), y2 = g(x), garis \(\mathrm{x = a}\) dan \(\mathrm{x = b}\) diputar 360o mengelilingi sumbu-x adalah : $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left (y{_{1}}^{2}-y{_{2}}^{2} \right )\:dx\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left ( \left [f(x)  \right ]^{2}-\left [g(x)  \right ]^{2} \right )\:dx}$$
Menghitung Volume Benda Putar gambar 2
Menghitung Volume Benda Putar gambar 2

B. Menentukan Volume Benda Putar Terhadap Sumbu-y dengan Integral

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva x = f(y), sumbu-y, garis \(\mathrm{y = a}\) dan \(\mathrm{y = b}\) diputar 360o mengelilingi sumbu-y adalah : $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}x^{2}\:dy\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left [ f(y) \right ]^{2}\:dy}$$
Menghitung Volume Benda Putar gambar 3
Menghitung Volume Benda Putar gambar 3


Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva x1 = f(y), x2 = g(y), garis \(\mathrm{x = a}\) dan \(\mathrm{x = b}\) diputar 360o mengelilingi sumbu-y adalah : $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left (x{_{1}}^{2}-x{_{2}}^{2} \right )\:dy\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left ( \left [f(y)  \right ]^{2}-\left [g(y)  \right ]^{2} \right )\:dy}$$
Menghitung Volume Benda Putar gambar 4
Menghitung Volume Benda Putar gambar 4


Contoh 1
Volume Benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=2x-x^{2}}\), sumbu-x, \(\mathrm{0\leq x\leq 1}\), diputar 360o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawaban :
Titik potong sumbu-x  ⇒ y = 0
2x − x2 = 0
x(2 − x) = 0
x = 0 atau x = 2

Menghitung Volume Benda Putar gambar 5
Menghitung Volume Benda Putar gambar 5


V = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\)y2 dx
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\)(2x − x2)2 dx
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\)(x4 − 4x3 + 4x2) dx
V = π\(\mathrm{\left [\frac{1}{5}x^{5}-x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}  \right ]_{0}^{1}}\)
V = \(\frac{8}{15}\)π


Contoh 2
Volume benda putar yang terjadi jika daerah diantara kurva \(\mathrm{y=\sqrt{x}}\) dan \(\mathrm{y=\frac{1}{2}x}\), diputar 360o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawaban :
Misalkan :
y1 = √x
y2 = \(\frac{1}{2}\)x

Titik potong kurva :
y1 = y2
√x = \(\frac{1}{2}\)x  (kuadratkan)
x = \(\frac{1}{4}\)x2   (kali 4)
4x = x2
4x − x= 0
x (4 − x) = 0
x = 0 atau x = 4

Menghitung Volume Benda Putar gambar 6
Menghitung Volume Benda Putar gambar 6

V = π\(\mathrm{\int_{0}^{4}}\)(y12 − y22) dx
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{4}\left \{ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2} \right \}\:dx}\)
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{4}}\)(x − \(\frac{1}{4}\)x2) dx
= π\(\mathrm{\left [ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{12}x^{3} \right ]_{0}^{4}}\)
V = \(\frac{8}{3}\)π


Contoh 3
Daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}}\), garis \(\mathrm{y=2-x}\) dan sumbu-x diputar diputar 360o mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volume.

Jawaban :
Misalkan :
y1 = x2
y2 = 2 − x

Titik potong kurva :
y1 = y2
x2 = 2 − x
x2 + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2 atau x = 1

Titik potong garis dan sumbu-x  ⇒ y = 0
2 − x = 0
x = 2

Menghitung Volume Benda Putar gambar 7
Menghitung Volume Benda Putar gambar 7

VI = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\) y12 dx
VI = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\) (x2)2 dx
VI = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\) x4 dx
VI = π\(\mathrm{\left [\frac{1}{5}x^{5}  \right ]_{0}^{1}}\)
VI = \(\frac{1}{5}\)π

VII = π\(\mathrm{\int_{1}^{2}}\) y22 dx
VII = π\(\mathrm{\int_{1}^{2}}\) (2 − x)2 dx
VII = π\(\mathrm{\int_{1}^{2}}\) (x2 − 4x + 4) dx
VII = π\(\mathrm{\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+4x \right ]_{1}^{2}}\)
VII = \(\frac{1}{3}\)π

Sehingga diperoleh :
V = VI + VII
V = \(\frac{1}{5}\)π + \(\frac{1}{3}\)π
V = \(\frac{8}{15}\)π


Contoh 4
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y^{2}=2x+4}\) dan sumbu-y dikuadran kedua, diputar 360o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawaban :
y2 = 2x + 4
⇒ 2x = y2 − 4
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)y2 − 2

Titik potong kurva dan sumbu-y  ⇒ x = 0
\(\frac{1}{2}\)y2 − 2 = 0 (kali 2)
y2 − 4 = 0
(y + 2)(y − 2) = 0
y = −2 atau y = 2

Menghitung Volume Benda Putar gambar 8
Menghitung Volume Benda Putar gambar 8


V = π\(\mathrm{\int_{0}^{2}}\) x2 dy
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{2}}\) (\(\frac{1}{2}\)y2 − 2)2 dy
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{2}}\) (\(\frac{1}{4}\)y4 − 2y2 + 4) dy
V = π\(\mathrm{\left [ \frac{1}{20}y^{5}-\frac{2}{3}y^{3}+4y \right ]_{0}^{2}}\)
V = \(\frac{64}{15}\)π


Contoh 5
Volume benda putar yang terbentuk bila daerah antara kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4}\) dan \(\mathrm{y=2x-4}\) diputar 360o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawaban :
y =  x2 − 4
⇒ x2 = y + 4

y = 2x − 4
⇒ 2x = y + 4
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)y + 2
⇒ x2 = (\(\frac{1}{2}\)y + 2)2

Misalkan :
x12 = y + 4
x22 = (\(\frac{1}{2}\)y + 2)2

Titik potong kurva :
x12 = x22
y + 4 = (\(\frac{1}{2}\)y + 2)2
y + 4 = \(\frac{1}{4}\)y2 + 2y + 4
\(\frac{1}{4}\)y2 + y = 0  (kali 4)
y2 + 4y = 0
y(y + 4) = 0
y = 0 atau y = −4

Menghitung Volume Benda Putar gambar 9
Menghitung Volume Benda Putar gambar 9


V = π\(\mathrm{\int_{-4}^{0}}\)(x12 − x22) dx
= π\(\mathrm{\int_{-4}^{0}}\){(y + 4) − (\(\frac{1}{4}\)y2 + 2y + 4)} dx
V = π\(\mathrm{\int_{-4}^{0}}\)(\(-\frac{1}{4}\)y2 − y ) dx
V = π\(\mathrm{\left [ -\frac{1}{12}y^{3}-\frac{1}{2}y^{2} \right ]_{-4}^{0}}\)
V = \(\frac{8}{3}\)π


Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA
Demikianlah materi tentang  
Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral ( Matematika SMA ), semoga bermanfaat