Ringkasn Materi Menentukan Luas Daerah dengan Integral Matematika SMA

Ringkasn Materi Menentukan Luas Daerah dengan Integral Matematika SMA. ada pertanyaan sebagai berikut : "Bagaimana bentuk rumus Menentukan Luas Daerah dengan Integral ? ". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Rumus Menentukan Luas Daerah dengan Integral  Contoh dan pembahasan soal Menentukan Luas Daerah dengan Integral  Latihan soal Menentukan Luas Daerah dengan Integral .di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.

Menentukan Luas Daerah dengan Integral
Menentukan Luas Daerah dengan Integral  ( Matematika SMA )

Menentukan Luas Daerah dengan Integral 

A. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x dengan Integral

Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis \(\mathrm{x=a}\) dan \(\mathrm{x=b}\)
dengan \(\mathrm{f(x)\geq 0}\) pada \(\mathrm{[a,b]}\) adalah :$$\mathrm{L=\int_{a}^{b}f(x)\:dx}$$
menentukan luas dengan integral gambar 1
menentukan luas dengan integral gambar 1

B. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x dengan Integral

Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis \(\mathrm{x=a}\) dan \(\mathrm{x=b}\) dengan \(\mathrm{f(x)\leq 0}\) pada \(\mathrm{[a,b]}\) adalah : $$\mathrm{L=-\int_{a}^{b}f(x)\:dx}$$
menentukan luas dengan integral gambar 2
menentukan luas dengan integral gambar 2


C. Menentukan Luas Antara Dua Kurva dengan Integral

Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=f(x)}\), \(\mathrm{y=g(x)}\), garis \(\mathrm{x=a}\) dan \(\mathrm{x=b}\) dengan \(\mathrm{f(x)\geq g(x)}\) pada \(\mathrm{[a,b]}\) adalah : $$\mathrm{L=\int_{a}^{b}\left ( f(x)-g(x) \right )\:dx}$$
menentukan luas dengan integral gambar 3
menentukan luas dengan integral gambar 3


Contoh 1
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=-x^{2}+3x}\), sumbu-x, \(\mathrm{x=0}\) dan \(\mathrm{x=2}\) adalah... satuan luas

Jawaban :
Sketsa grafik :
menentukan luas dengan integral gambar 4
menentukan luas dengan integral gambar 4


L = \(\mathrm{\int_{0}^{2}}\)(−x2 + 3x) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}  \right ]_{0}^{2}}\)
L = \(\frac{10}{3}\)


Contoh 2
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=4-x^{2}}\), garis \(\mathrm{y=x+2}\) pada interval \(\mathrm{-1\leq x\leq 1}\) adalah... satuan luas.

Jawaban :
Sketsa grafik :
menentukan luas dengan integral gambar 5
menentukan luas dengan integral gambar 5

L = \(\mathrm{\int_{-1}^{1}}\)((4 − x2) − (x + 2)) dx
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{1}}\)(−x2 − x + 2) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x  \right ]_{-1}^{1}}\)
L = \(\frac{10}{3}\)

D. Menentukan Luas Tepat Dibatasi Kurva dengan Integral

Jika luas tepat dibatasi satu kurva dan sumbu-x, maka batas-batas integralnya adalah titik potong sumbu-x kurva tersebut.

menentukan luas dengan integral gambar 6
menentukan luas dengan integral gambar 6


$$\mathrm{L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\;dx}$$

Jika luas tepat dibatasi 2 kurva, maka batas-batas integralnya diperoleh dari titik potong kedua kurva tersebut \(\mathrm{\left ( f(x)=g(x) \right )}\).

menentukan luas dengan integral gambar 7
menentukan luas dengan integral gambar 7


$$\mathrm{L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left (f(x)-g(x)  \right )\;dx}$$

Contoh 3
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-1}\) dan garis \(\mathrm{y=-x-1}\) adalah...

Jawaban :
Sketsa grafik :
menentukan luas dengan integral gambar 8
menentukan luas dengan integral gambar 8


Titik potong kurva :
x2 − 1 = −x − 1
x2 + x = 0
x (x + 1) = 0
x = 0 atau x = −1

L = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)((−x − 1) − (x2 − 1)) dx
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)(−x2 − x) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}  \right ]_{-1}^{0}}\)
= \(\frac{1}{6}\)

E. Menentukan Batas-Batas Pengintegralan dalam perhitungan Luas Daerah

Terkadang batas-batas yang diberikan belum tentu merupakan batas-batas yang digunakan dalam proses pengintegralan. Untuk kasus-kasus tertentu, kita perlu membagi atau memecah batas-batas tersebut baru kemudian mencari satu persatu luas pada masing-masing interval yang telah dipecah.

Misalkan luas berada pada interval [a, b]. Jika titik potong sumbu-x atau titik potong kurva berada pada interval (a, b), maka pecah batasnya menjadi [a, x] dan [x, b], dengan x adalah titik potong yang berada pada interval (a, b).

Perhatikan beberapa kasus berikut !

menentukan luas dengan integral gambar 9
menentukan luas dengan integral gambar 9


$$\mathrm{L=-\int_{a}^{x_{2}}f(x)\;dx+\int_{x_{2}}^{b}f(x)\;dx}$$

menentukan luas dengan integral gambar 10
menentukan luas dengan integral gambar 10


$$\mathrm{L=\int_{a}^{x_{1}}\left (f(x)-g(x)  \right )\:dx+\int_{x_{1}}^{b}\left ( g(x)-f(x) \right )\:dx}$$

menentukan luas dengan integral gambar 11
menentukan luas dengan integral gambar 11


$$\mathrm{L=\int_{a}^{x_{1}}f(x)\:dx+\int_{x_{1}}^{b}g(x)\:dx}$$

Contoh 4
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x}\) dan sumbu-x, pada interval \(\mathrm{-1\leq x\leq 3}\) adalah...

Jawaban :
Sketsa grafik :
menentukan luas dengan integral gambar 12
menentukan luas dengan integral gambar 12



Titik potong sumbu-x :
x2 − 4x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4

Untuk interval [−1, 0] :
L1 = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)(x2 − 4x) dx
L1 = \(\mathrm{\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{-1}^{0}}\)
L1 = \(\frac{7}{3}\)

Untuk interval [0, 3]
LII = \(\mathrm{-\int_{0}^{3}}\)(x2 − 4x) dx
LII = \(\mathrm{-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{0}^{3}}\)
LII = 9

Jadi, luas untuk interval \([-1,3]\) adalah :
L = L1 + LII
L = \(\frac{7}{3}\) + 9
= \(\frac{34}{3}\)


Contoh 5
Tentukan luas untuk setiap daerah arsiran berikut !

menentukan luas dengan integral gambar 13
menentukan luas dengan integral gambar 13


Jawaban :
Persamaan parabola yang memotong sumbu-x di titik (0, 0) dan (5, 0) dan melalui titik (1, −4) adalah :

y = a(x − x1)(x − x2)
−4 = a(1 − 0)(1 − 5)
⇒ a = 1

y = 1.(x − 0)(x − 5)
⇒ y = x2 − 5x

Persamaan garis yang melalui titik (1, −4) dan (3, 0) adalah :
\(\mathrm{\mathbf{\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}\)
\(\mathrm{\frac{y-(-4)}{0-(-4)}=\frac{x-1}{3-1}}\)
⇒ y = 2x − 6

Titik potong kurva dan garis :
x2 − 5x = 2x − 6
x2 − 7x + 6 = 0
(x − 1)(x − 6) = 0
x = 1 atau x = 6

menentukan luas dengan integral gambar 14
menentukan luas dengan integral gambar 14


Luas I
Luas I di batasi parabola \(\mathrm{y=x^{2}-5x}\) dan garis \(\mathrm{y=-4}\).
Batas-batas integralnya adalah titik potong garis dan parabola tersebut.
x2 − 5x = −4
x2 − 5x + 4 = 0
(x − 1)(x − 4) = 0
x = 1 atau x = 4

L1 = \(\mathrm{\int_{1}^{4}}\)((−4) − (x2 − 5x)) dx
L1 = \(\mathrm{\int_{1}^{4}}\)(− x2 + 5x − 4) dx
L1 = \(\mathrm{\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-4x \right ]_{1}^{4}}\)
L1 = \(\frac{9}{2}\)

Luas II
Pecah batasnya menjadi [0, 1] dan [1, 3].

Untuk interval [0, 1] :
L = \(\mathrm{-\int_{0}^{1}}\)(x2 − 5x) dx
L = \(\mathrm{-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2} \right ]_{0}^{1}}\)
L = \(\frac{13}{6}\)

Untuk interval [1, 3] :
L = \(\mathrm{-\int_{1}^{3}}\)(2x − 6) dx
L = \(\mathrm{-\left [ x^{2}-6x \right ]_{1}^{3}}\)
L = 4

Sehingga diperoleh :
LII = \(\frac{13}{6}\) + 4
LII = \(\frac{37}{6}\)

Luas III
Pecah batasnya menjadi [3, 5] dan [5, 6].

Untuk interval [3, 5] :
L = \(\mathrm{\int_{3}^{5}}\)(2x − 6) dx
L = \(\mathrm{\left [ x^{2}-6x \right ]_{3}^{5}}\)
L = 4

Untuk interval [5, 6] :
L = \(\mathrm{\int_{5}^{6}}\)((2x − 6) − (x2 − 5x)) dx
L = \(\mathrm{\int_{5}^{6}}\)(−x2 + 7x − 6) dx
L = \(\mathrm{\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-6x \right ]_{5}^{6}}\)
L = \(\frac{13}{6}\)

Sehingga diperoleh :
LIII = 4 + \(\frac{13}{6}\)
LIII = \(\frac{37}{6}\)

atau luas III dapat ditentukan dari selisih daerah yang dibatasi garis \(\mathrm{y=2x-6}\) dan sumbu-x pada interval [3, 6] dengan daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-5x}\) dan sumbu-x pada interval [5, 6].


Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA
Demikianlah materi tentang Menentukan Luas Daerah dengan Integral ( Matematika SMA ), semoga bermanfaat
LihatTutupKomentar